El problema de Eilenberg-Ganea para familias

Luis Jorge Sánchez Saldaña (Facultad de Ciencias, UNAM)

Resumen

Dado un grupo $G$ podemos definir su dimensión geométrica y su dimensión cohomológica. La primera es el número más pequeño tal que existe un espacio de Eilenberg-MacLane $K(G,1)$, mientras que la segunda es la longitud más corta de una resolución proyectiva del $G$-módulo trivial $\mathbb{Z}$. Un famoso teorema de Eilenberg y MacLane, junto con un teorema de Stallings, dice que ambas dimensiones coinciden salvo la posibilidad de que exista un grupo G con dimensión cohomológica 2 y dimensión geometrica 3. A la fecha no se sabe si dicho grupo existe. Por otro lado, dada un familia F de subgrupos de G se pueden definir versiones relativas a F de la dimensión geométrica y la dimensión cohomológica de G. Nuevamente tenemos un teorema análogo al de Eilenberg y Ganea, y mas aún. Así que cabe preguntarse si estas dimensiones coinciden siempre. Sorprendentemente, existen ejemplos de grupos con dimensión geométrica 3 y dimensión cohomológica 2 relativas a ciertas familias F. En esta charlas discutiremos dichos ejemplos que fueron construidos por Brady-Leary-Nucinkis. Fluch-Leary, y recientemente por el ponente.

Fecha

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